Lograr solapamiento de vencimiento pólizas - Seguros de salud

Soy relativamente nueva en España y no me queda claro como lograr que mi nuevo seguro de salud (ofrecido por mi empresa) se solape con mi seguro previo privado (particular). 
No sabía que no se podía prorrogar por meses, en mi caso me "falta" un mes para lograr el solapamiento del nuevo seguro con el anterior...me quedaría un mes sin seguro, no pasa nada en principio, pero justamente el beneficio de considerar tiempos de carencia previos es al pasar directo de un seguro a otro. Si todos los seguros son necesariamente anuales esto es algo común que le debe pasar a mucha gente..?! 

De todos modos como conocerás en España hay cobertura de sanidad pública para cualquier trabajador o personas dependientes, con lo cual durante este mes que no tendrás privado tienes igualmente el público que tendrás siempre ...... La sanidad en españa es de altisima calidad, me refiero a la parte médica, lo que ya es mas discutible son los plazos de respuesta, pruebas medicas, etc., de temas que no son considerados urgentes (y puede que el/la paciente no esté de acuerdo con tal no urgencia)  o, también es mas que debatible la calidad de "la parte hotelera" de los servicios sanitarios, me refiero a las habitaciones, comida, etc. 

Lo de la calidad médica lo reconocen nuestros hijos/as cuando van a trabajar al extranjero, en estados con mayores presupuestos públicos, lo de la sanidad, en bastantes casos echan  en falta la de España, a pesar de los recortes presupuestarios de la última década.

Y otro indicio que corrobora este hecho, gente con altos ingresos, ante una enfermedad que pueda suponer relavantes tasas de mortalidad tipo cáncer, por más mutua privada que tenga,  generalizando prefiere ser tratado/a en la pública.  Eso si, tener un seguro privado es últil y bueno, supone rapidez, comodidad, etec......  y nos mejora el global. 

Generalmente los seguros de salud colectivos que ofrecen las empresas se puede contratar en desde momento de entrada en la empresa. O más adelante.

O sea, que solo hay que pedir a la empresa que te incluya en el momento en que acabe el tuyo. Porque el tuyo sí que acaba en el momento que está pactado en el contrato. Y no se puede elegir.

El problema es si no estás trabajando todavía, tu póliza acaba en enero, y... además tienes obligación de tener seguro de salud por ser extranjera. 

A veces es complicado encontrar soluciones a medida para tres circunstancias que cada una tiene una exigencia y que no coinciden entre ellas...

AL final como quedó el asunto ?