TAE son las iniciales de "Tasa Real Equivalente" y se corresponde con el total de pagos que hemos realizados (intereses y comisiones), si lo pagasemos al cabo de un año. Así un TAE del 2% de 100, es que pagas 2 de intereses y comisiones durante ese año.
Por tanto las comisiones aumentan el TAE respecto al TIN, Tipo de interés nominal (euribor más diferencial que es lo que realmente se paga).
Si las comisiones fuesen cero y se pagase una sola cuota anual, el TAE sería igual al TIN.
Pero solemos pagar mensualmente, por lo que reducimos capital pendiente antes de que llegue el año, lo que hace que, si las comisiones son nulas, el TAE sea menor que el TIN.
EDITO para responder al título:
Lo que se paga en cada cuota son los intereses (euribor+diferencial) correspondientes al capital pendiente durante un mes (suelen ser pagos mensuales) más la amortización de parte del capital que ha sido calculada para que las cuotas sean constantes con ese tipo de interés.