¿Qué datos deben aparecer en el recibo?

Si el recibo es solamente recibo, no hay obligaciones legales al respecto. Si además es factura, hay que hacerlo constar y debe reunir los requisitos del Reglamento de Facturación (ver Cap II):
http://noticias.juridicas.com/base_datos/Fiscal/rd1619-2012.html

El caso es que no me queda claro si es una factura o recibo. Por un lado, leo que un autonómo que ofrece un servicio a otro autónomo o empresa, debe mandar una factura. Por otro lado, leo que una factura es algo que emito para pedir el dinero, sin embargo, lo que ocurre en mi caso es que el cobro se realiza automáticamente cada mes y lo que recibe la otra persona es un justificante que detalla el cobro.

¿Es correcto pensar que lo que recibe el cliente es un recibo y debe figurar el IVA en lugar de IRPF?

La factura no es para pedir dinero, es el justificante del servicio prestado en este caso. De hecho, en el caso de pagos al contado, también es obligatoria la factura.
Podrías hacer que ese recibo haga las funciones de factura, si cumple los requisitos que se indican en el reglamento que te puse. El IVA debe figurar obligatoriamente y el IRPF es recomendable que figure porque si no el recibo no cuadrará con el pago.

El caso es que yo no hago un trabajo concreto para una empresa, emito factura, luego lo hago para otra empresa, etc. Yo por mi cuenta, construyo una web toda automatizada y los dueños de los negocios se suscriben. De manera que una vez lanzada esa web ya dejo de trabajar porque el trabajo lo hace la web.

Lo que envía el procesador de pagos cada mes, ¿tiene que ser factura sí o sí? Conozco muchos servicios de diferente naturaleza pero con igual mecánica donde no te piden datos como CIF o domicilio fiscal, es decir, no te envian facturas donde figuran esos datos junto al IRPF.

¿A que te refieres con "si no el recibo no cuadrará con el pago"?

Vuelvo a decir que si cumple requisitos, el mismo documento puede ser recibo y factura.
Lo del IRPF es que si hay retención y no figura, el importe será distinto del realmente cobrado.