Hola, yo también acabo de firmar mi primera hipoteca, y por suerte todo ha ido bien.
Te aconsejo que leas la oferta vinculante que te dio el banco, sobre todo fijándote de que no haya ninguna clausula extraña que te hayan ocultado. Por ejemplo, si existe redondeo al alza sobre el diferencial (he encontrado algún banco que todavía lo hace), si el tipo de interés tiene algún mínimo (p.ej, si tienes Euribor + 0,5% y existe un mínimo del 3,5%, quiere decir que pagarás 3,5% aunque el Euribor esté por debajo del 3%). Fíjate también que las comisiones (apertura, amortización, cancelación) correspondan con las que te hayan dicho. Otra cosa que has de mirar es que no te intenten colar algo "extra", por ejemplo la contratación de algún tipo de seguro obligatorio sobre el cual no te hayan hablado (el de vida y el de hogar son los normales). En resumen, que no haya nada que tú no sepas, para que luego no haya sustos.
Respecto al día de la firma, el notario leerá la escritura de compraventa. Hay que estar atento al hecho de que te tienen que dar la vivienda libre de cargas, y por tanto si existe alguna hipoteca sobre el piso, ese mismo día los vendedores han de cancelarla. En mi caso concreto, incluso fui con los vendedores a su banco para comprobar que lo hacían.
Ánimo y suerte