Mudanza a Madrid: Dudas busqueda piso - Alquiler de vivienda

Hola, he acabado mis estudios y me ha salido trabajo en Madrid a partir de septiembre. No es un contrato de trabajo, sino un acuerdo de prácticas con la universidad y solo dura un año. Así que viendo la odisea que parece ser buscar piso en Madrid tengo algunas dudas sobre mi caso.

Lo que buscaré: estudio o piso pequeño hasta 650 € en Madrid ciudad.  Y quiero que sea un piso en el que pueda empadronarme para pedir las ayudas el año que viene.

Lo que tengo:

Sin nóminas porque empiezo ahora, cobraré 1500 brutos, 1400 netos en 12 pagas pero no es un contrato de trabajo. Y la posibilidad de echarme mientras dure es prácticamente nula, pero claro a ver como le explico eso al casero o la agencia. Tengo ahorros de 9000 € mitad en la cuenta y mitad en acciones que no me apetece vender, y 10% de un piso heredado. 

No quiero que nadie de mi familia me avale, por independencia y porque además estando en ciudades distintas sería mucho lío.

Por lo que he leído en mi caso sería cuestión de buscar un aval bancario o pagar varios meses por adelantado, pero no sé si con las acciones o la parte del piso podría ser suficiente.¿Cómo lo véis? Tampoco sé cuanto tiempo podría llevarme encontrarlo, si voy la última semana de agosto ¿créeis que sería posible conseguirlo para inicio de mes? Esa semana la mayoría de inmobiliarias deberían estar abiertas no?

Muchas gracias, y si tenéis cualquier consejo decidme, estoy un poco perdido y me da miedo que me cueste la vida mientras me arruino en hostales o airbnb...