¿Se entera tráfico de tu cambio de domicilio? +Impuesto circulación

Buenas.

Me he mudado a otra ciudad, y para poder tener médico me he empadronado en el nuevo domicilio.
Aquí el impuesto de circulación pasará a ser de uno 135€ (frente a los 90€ de antes).
En tráfico siguen teniendo mi dirección antigua. O al menos yo no la he cambiado.

¿Estoy obligado a informar a tráfico? ¿Se enteran automáticamente?
¿O para el impuesto de circulación el que importa es el ayuntamiento y me enviarán automáticamente una carta? (ellos no saben que tengo coche).

no
tienes que ir a trafico, yo me cambié hace 8 años y no lo notifiqué en trafico y sigo pagando el impuesto de circulación en el domicilio anterior que se paga menos, otra cosa es que te compres un nuevo vehículo que entonces se registra en el domicilio donde estas empadronado

¿Pero si no digo nada me pueden multar?
¿El ayuntamiento se puede enterar si no digo nada?

En algún sitio me han dicho incluso que si en un control la policía ve que mi dirección de DNI no coincide con la del permiso de circulación me puede multar.
La cosa es que por motivos laborales cambio habitualmente de domicilio, pero no puedo estar actualizando cada vez la dirección en el DNI, hay que perder mucho tiempo pidiendo citas, etc.

según la DGT el empadronamiento debe coincidir, en mi caso, yo no lo he cambiado y nunca he tenido problemas, y me ha parado la guardia civil algunas veces
 Cambio de domicilio fiscal (dgt.gob.es)