La media aritmética o promedio aritmético es una medida que se calcula dividiendo la suma de todos los valores de una muestra (o población) estadística por el número de observaciones. Se trata de una medida estandarizada que se utiliza para describir la dispersión de datos.
En otras palabras, la media aritmética busca mostrarnos el punto medio del valor de los datos analizados. Otras medidas con similar función son, por ejemplo, la mediana o la media geométrica.
Por citar un caso de aplicación, la media aritmética se emplea en el campo del trading en el cálculo de la media móvil simple. Esta es una herramienta del análisis técnico.
Fórmula de la media aritmética
La fórmula de la media aritmética es la siguiente:
Donde
Ahora, si trabajamos con datos agrupados, la fórmula sería la siguiente:
Donde:
En este punto, debemos explicar qué es la marca de clase. Pues, no es más que el punto medio de la clase. Por ejemplo, supongamos que estamos agrupando a las personas por sus estaturas (en metros) de la siguiente forma:
1,5-1,6
1,6-1,7
1,7-1,8
1,8-1,9
1,9-2
La marca de clase se calcula simplemente sumando el límite inferior más el superior y dividiendo entre dos.
(1,5+1,6)/2= 1,55
(1,6-1,7)/2= 1,65
(1,7-1,8)/2= 1,75
(1,8-1,9)/2= 1,85
(1,9-2)/2 =1,95
Seguro te preguntarás, ¿cómo sé que los datos, por ejemplo, del primer intervalo no se acercan más a 1,6 que a 1,5? La respuesta es justamente que no lo sabes, y es por ello que, a modo de aproximación, se toma el punto medio. Si tuviéramos los datos desagregados, podríamos sumar una por una las observaciones y calcularíamos la media aritmética de una forma más precisa.
Propiedades de la media aritmética:
Las principales propiedades de la media aritmética son las siguientes:
Si a todos los valores de la base de datos analizada se les suma el mismo número (z), la nueva media aritmética sería igual a la anterior más la misma cifra que se sumó a los datos.
Si a todos los valores analizados se les multiplica por el mismo número (z), la nueva media aritmética será igual a la anterior multiplicada por z.
La media aritmética es sensible a datos extremos o valores atípicos, es decir, si tenemos un conjunto de datos y hay uno que es muy superior a los demás, por ejemplo, el resultado podría darnos una visión distorsionada del punto medio de la muestra o población en cuestión. Podemos verlo en el siguiente ejemplo:
4,7,8,12,5,9,40
La media aritmética es:
(4+7+8+12+5+9+40)/7= 12,1429
Este resultado es superior a todos los valores de la muestra, a excepción de 40.
En el caso de los datos agrupados, no podemos calcular la media aritmética si alguno de los intervalos es de amplitud indeterminada. Por ejemplo, si su límite superior es el infinito.
La suma de las desviaciones de cada uno de los valores analizados respecto a la media aritmética es igual a cero.
Utilicemos el ejemplo previamente mostrado, el que tenía un dato atípico:
Xi
Xi-media aritmética
4
-8,1429
7
-5,1429
8
-4,1429
12
-0,1429
5
-7,1429
9
-3,1429
40
27,8571
Si sumamos las desviaciones, mostradas en la columna de la derecha, el resultado es cero.
La suma de los cuadrados de las desviaciones de los datos respecto a un número cualquiera (z) se reduce conforme ese número se acerca a la media aritmética.
Volvemos al ejemplo previamente mostrado. Utilizamos valores de 9, 10, 14 y 16 para z, y lo comparamos con la suma de las desviaciones al cuadrado respecto a la media aritmética (en la columna de la derecha) que es 12,1429:
(Xi-9)^2
(Xi-10)^2
(Xi-12,1429)^2
(Xi-14)^2
(Xi-16)^2
25
36
66,3061
100
144
4
9
26,4490
49
81
1
4
17,1633
36
64
9
4
0,0204
4
16
16
25
51,0204
81
121
0
1
9,8776
25
49
961
900
776,0204
676
576
sumatoria
1016
979
946,8571
971
1051
Podemos observar que la suma de las desviaciones al cuadrado aumenta conforme z se aleja de la media aritmética, pudiendo ser z mayor o menor a esa media.
La media aritmética de un grupo de números positivos es igual o mayor a la media geométrica.
La media aritmética siempre se ubica entre el mínimo y el mayor de los valores analizados.
Ejemplo de media aritmética
Mostraremos un ejemplo de medir aritmética, pero calculado con datos agrupados:
Estatura
Xm (marca de clase)
fi
Xm*fi
[1,5-1,6)
1,55
3
4,65
[1,6-1,7)
1,65
6
9,9
[1,7-1,8)
1,75
10
17,5
[1,8-1,9)
1,85
9
16,65
[1,9-2]
1,95
2
3,9
n
30
media aritmética
1,7533
La media aritmética resulta de, primero, sumar la última columna de la derecha, que es la multiplicación de cada marca de clase por su respectiva frecuencia absoluta. El resultado se divide entre el número de observaciones (30).
Podemos verlo de la siguiente forma:
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