Que me recomendais servicio traslado de cuentas o transferencias?

No vas a tener ningún problema, entrando en el banco nuevo por transferencia.
Si no venias trabajando bastante con el banco nuevo pueden solicitarte de donde provienen tus fondos principalmente (herencia, nominas, ahorro, inversiones etc...) una vez cumplimentado fin de la historia.
Saludos.

Yo lo he hecho de Bankia a BBVA y de momento salvo algún recibo de algún organismo se ha podido hacer, ahora mi temor es que el día 29 de octubre que es cuando supuestamente se cierra todo el traspaso, los de CaixaBank me digan que no se puede cerrar la cuenta porque tengo vinculada la tarjeta de débito y tengo que ir a cerrar la cuenta On a la misma sucursal donde la abrí.

En 2021-22, con esa condición de ir a la misma oficina asignada, pues más motivo para cerrarla. Aunque no se si se puede cambiar desde la web del banco ( claaaro, si tiene uno PC o la "vista  como un ordenador" activada en el móvil y puedas operar).