Covarianza

La covarianza es una medida de la relación entre dos variables aleatorias. Si las variables no están vinculadas, la covarianza será cero.

En otras palabras, la covarianza intenta medir en qué magnitud dos variables varían de forma conjunta, ya sea en una misma dirección o con movimientos opuestos.

Fórmula de la covarianza

Para la fórmula de la covarianza, primero, tomaremos dos variables, x e y. Así, seguimos la siguiente ecuación:

En la ecuación, x e y con una barra horizontal superior representan la media o promedio aritmético del conjunto de datos. Asimismo, n es el número de observaciones.

Si tenemos una tabla de frecuencias con datos agrupados, la fórmula sería:

Donde f es la frecuencia, es decir, el número de veces que se repite la observación, tanto en x como su correspondiente en y (quedará más claro con un ejemplo más adelante).

Propiedades de la covarianza

Algunas propiedades de la covarianza son:

La covarianza entre una variable y una constante es cero.
La covarianza entre variable y ella misma, es la varianza de esa variable.
Cuando la covarianza es positiva, ambas variables se mueven en el mismo sentido, es decir, si x sube, y también sube. Pero, si la covarianza es negativa, las variables tienen una relación inversa, cuando una se incrementa, la otra desciende y viceversa.
Si la covarianza es cero, las variables no tienen relación entre sí.
Cuando se cambia la unidad de medida de las variables, por ejemplo, de gramos a kilogramos, el resultado de la covarianza también cambia. Recordemos que no estamos frente a una medida normalizada, lo cual hace difícil la comparación entre covarianzas.

Aplicaciones de la covarianza

Algunas de las principales aplicaciones de la covarianza en la toma de decisiones de inversión son:

Medir el riesgo: La covarianza permite medir el riesgo de una inversión en un activo o un portafolio de activos. Una alta covarianza indica un alto riesgo, mientras que una baja covarianza indica un bajo riesgo.
Evaluar la diversificación: La covarianza también permite evaluar la diversificación de un portafolio de activos. Un portafolio altamente diversificado tendrá una baja covarianza, lo que indica un bajo riesgo. Por lo tanto, la covarianza puede ayudar a los inversores a seleccionar activos que se complementen entre sí y a reducir el riesgo del portafolio.
Determinar la rentabilidad esperada: La covarianza también se utiliza para determinar la rentabilidad esperada de un portafolio de activos. La rentabilidad esperada se calcula como el producto de la covarianza entre el rendimiento de cada activo y su peso en el portafolio. Esta información puede ayudar a los inversores a tomar decisiones sobre cuáles activos incluir en su portafolio y en qué proporción.

La covarianza y la correlación

La covarianza y la correlación son dos conceptos que se relacionan con el riesgo y la diversificación en la inversión, pero que tienen algunas diferencias.

La covarianza es una medida de la relación entre dos variables, mientras que la correlación es una medida normalizada de esa relación. La covarianza se calcula multiplicando las diferencias entre los valores de cada variable y su respectiva media, y luego dividiendo el resultado por el número de datos. Esto nos da una idea de cómo cambian las dos variables en conjunto, pero no nos dice nada sobre qué tan fuerte es esa relación.

Por otro lado, la correlación se calcula dividiendo la covarianza entre el producto de las desviaciones típicas o estándar de las dos variables. Esto nos da una medida normalizada de la relación entre las dos variables, lo que nos permite comparar fácilmente la fuerza de esa relación con otras relaciones entre variables. La correlación se expresa como un número entre -1 y 1, donde un valor de 1 indica una correlación perfectamente positiva, un valor de -1 indica una correlación perfectamente negativa, y un valor de 0 indica que no hay correlación entre las variables.

Aplicaciones prácticas del cálculo de la covarianza

Por ejemplo, si se miden el peso y la altura de una persona a intervalos fijos a lo largo de su vida, se puede calcular la covarianza entre el peso y la altura en cada momento. Esto le daría una medida de lo estrechamente correlacionados que están el peso y la altura a lo largo del tiempo. Si estuvieran perfectamente correlacionados, la covarianza sería 1. Si no estuvieran correlacionados en absoluto, sería 0.

Un ejemplo del mundo de la inversión, si quieres saber cómo va el mercado de valores, puedes mirar el Promedio Industrial Dow Jones (DJIA) y el S&P 500. El DJIA mide la evolución de los precios de las acciones de 30 grandes empresas, mientras que el S&P 500 mide la evolución de los precios de las acciones de 500 grandes empresas. Si quisiéramos saber cómo va el mercado de valores, calcularíamos la covarianza entre estos dos conjuntos de datos. Esto le diría cuánto se mueve cada conjunto de datos en relación con el otro.

Ejemplo de covarianza:

Supongamos que tenemos dos variables, x e y, con 32 observaciones de cada un

	X	Y
1	10	5
2	5	10
3	3	3
4	10	8
5	10	9
6	8	1
7	8	8
8	5	1
9	1	2
10	8	4
11	9	1
12	4	7
13	8	5
14	8	7
15	6	4
16	3	4
17	5	8
18	4	2
19	10	1
20	2	1
21	1	6
22	3	8
23	8	9
24	3	1
25	3	10
26	8	7
27	5	3
28	9	1
29	7	5
30	5	4
31	9	6
32	8	8
prom	6,1250	4,9688

Al final de la tabla, hemos calculado los promedios, para luego aplicar la fórmula mostrada líneas arriba. Lo haremos paso a paso.

Así, restamos cada observación respecto al promedio de la variable (x e y en negrita), y ambos resultados los multiplicamos.

xi-x	yi-y	(xi-x)*(yi-y)
3,8750	0,0313	0,1211
-1,1250	5,0313	-5,6602
-3,1250	-1,9688	6,1523
3,8750	3,0313	11,7461
3,8750	4,0313	15,6211
1,8750	-3,9688	-7,4414
1,8750	3,0313	5,6836
-1,1250	-3,9688	4,4648
-5,1250	-2,9688	15,2148
1,8750	-0,9688	-1,8164
2,8750	-3,9688	-11,4102
-2,1250	2,0313	-4,3164
1,8750	0,0313	0,0586
1,8750	2,0313	3,8086
-0,1250	-0,9688	0,1211
-3,1250	-0,9688	3,0273
-1,1250	3,0313	-3,4102
-2,1250	-2,9688	6,3086
3,8750	-3,9688	-15,3789
-4,1250	-3,9688	16,3711
-5,1250	1,0313	-5,2852
-3,1250	3,0313	-9,4727
1,8750	4,0313	7,5586
-3,1250	-3,9688	12,4023
-3,1250	5,0313	-15,7227
1,8750	2,0313	3,8086
-1,1250	-1,9688	2,2148
2,8750	-3,9688	-11,4102
0,8750	0,0313	0,0273
-1,1250	-0,9688	1,0898
2,8750	1,0313	2,9648
1,8750	3,0313	5,6836

La sumatoria de la tercera columna, la que está más a la derecha, es 33,125, y lo dividimos entre el número de datos, 32. El resultado es 1,0352.

Ahora, siendo 32 datos, podría tratarse de una muestra, con lo cual la división no es entre n, sino entre n-1. El resultado es 1,0685 (33,125/31).

Debemos señalar que programas como Excel ya tienen incorporada, entre sus funciones, aquella que realiza automáticamente el cálculo de la covarianza. Esto, tanto para una población como para una muestra. No es necesario efectuar el cálculo de manera manual.

Ahora, veamos un ejemplo muy simplificado de cómo sería calcular la covarianza para datos agrupados. En este caso, f es la frecuencia con la que se repite el mismo resultado, tanto para x como para y.

Primero, observaremos los datos sin agrupar:

x	y

3	6
4	7
3	6
3	6
4	7
5	9
4	7
5	9
2	5
6	9

Ahora, agrupados:

x	y	f
3	6	3
4	7	3
5	9	2
2	5	1
6	9	1

(xi-x)	(yi-y)	(xi-x)(yi-y)f
-0,90	-1,10	2,97
0,10	-0,10	-0,03
1,10	1,90	4,18
-1,90	-2,10	3,99
2,10	1,90	3,99

Hemos desarrollado un procedimiento similar al del ejemplo anterior (x e y en negrita son los promedios aritméticos para cada variable).

La sumatoria de la tercera columna de esta última tabla es 15,10, y lo dividimos entre (n-1), asumiendo que se trata de una muestra. El resultado es 1,6778 (15,10/9).

*Artículo editado y complementado por @guillermowestreicher.